Замена переменных под знаком несобственного интеграла и

Замена переменных под знаком несобственного интеграла и интегрирование по частям

В данной статье описано решение интегралов методом интегрирования заменой переменной. Приведены примеры решения задач. Пределы | Дифференцирование | Определенные интегралы | Несобственные интегралы | В обоих случаях речь идет о замене переменной, а различие Подстановка x = u(t) используется для преобразования интеграла к под знаком которого содержится обратная тригонометрическая функция и. Предел вида. называется несобственным интегралом первого рода. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что сходится.

В чем его отличие от определенного интеграла? Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: Ну а сейчас разберём самый популярный случай. В подавляющем большинстве примеров подынтегральная функция непрерывна на промежуткеи этот важный факт следует проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то есть дополнительные нюансы.

Для определённости предположим, что и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так: Обратите внимание, что она бесконечна не ограничена справаи несобственный интеграл численно равен её площади.

При этом возможны следующие варианты: В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу!

Несобственные интегралы. Примеры решений

Может ли так быть? Во втором случае несобственный интеграл сходится. В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функциии конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим. А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл расходится либо равен конечному отрицательному числу.

Таким образом, несобственный интеграл может быть отрицательным.

Замена переменных под знаком несобственного интеграла и интегрирование по частям

Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.

Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В бесконечном верхнем пределе интегрирования: Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: В чем отличие от определенного интеграла?

Да ни в чем особенном!

Замена переменной

Единственное, что добавилось — это вычисление предела. Начнем с более простого случая. Подведение функции под знак дифференциала На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил: То есть, раскрыть дифференциал — это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1 Найти неопределенный интеграл. Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: Подводим функцию Раскрывая дифференциал, легко проверить, что: Фактически и — это запись одного и того. Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: Почему так, а не иначе?

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу. Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись: